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Kaustubh Katdare
Kaustubh Katdare • Dec 21, 2008

How many positive factors of 36,000,000 are not perfect squares?

Question: How many of the positive factors of the number 36,000,000 are not perfect squares.

Any answer without an explanation is spam. :smile:
shalini_goel14 • Dec 23, 2008
My answer is 149.Is it right or wrong??

Here goes my explanation:

36000000=6 x 6 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
=2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5
=2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup]
Factors possible are:
2, 2[sup]2[/sup], 2[sup]3[/sup], 2[sup]4[/sup], 2[sup]5[/sup], 2[sup]6[/sup], 2[sup]7[/sup], 2[sup]8[/sup]
3, 3[sup]2[/sup]
5, 5[sup]2[/sup], 5[sup]3[/sup], 5[sup]4[/sup], 5[sup]5[/sup], 5[sup]6[/sup]
For each (2 to 28 and 3 to 32 ) there will be total 16 (8 x 2) combinations of factors having subfactors 2 and 3 only.

2 x 3, 2[sup]2[/sup] x 3, 2[sup]3[/sup] x 3, 2[sup]4[/sup] x 3, 2[sup]5[/sup] x 3, 2[sup]6[/sup] x 3, 2[sup]7[/sup] x 3, 2[sup]8[/sup] x 3

2 x 3[sup]2[/sup], 2[sup]2[/sup] x 3[sup]2[/sup], 2[sup]3[/sup] x 3[sup]2[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup]

Similarly for each (2 to 2[sup]8[/sup] and 5 to 5[sup]6[/sup] ) there will be total 48(8 x 6) combinations of factors having subfactors 2 and 5 only.

2 x 5, 2[sup]2[/sup] x 5, 2[sup]3[/sup] x5, 2[sup]4[/sup] x 5, 2[sup]5[/sup] x 5, 2[sup]6[/sup] x 5, 2[sup]7[/sup] x 5, 2[sup]8[/sup] x 5

2 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]3[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]4[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]5[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]6[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]7[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]8[/sup] x 5[sup]2[/sup]

2 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]3[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]4[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]5[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]6[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]7[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]8[/sup] x 5[sup]3[/sup]

2 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]3[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]4[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]5[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]6[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]7[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]8[/sup] x 5[sup]4[/sup]

2 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]3[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]4[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]5[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]6[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]7[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]8[/sup] x 5[sup]5[/sup]

2 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]3[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]4[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]5[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]6[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]7[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]8[/sup] x 5[sup]6[/sup]

For each (3 to 3[sup]2[/sup] and 5 to 5[sup]6[/sup] ) there will be total 12 (6 x 2) combinations of factors having subfactors 3 and 5 only.

3 x 5, 3[sup]2[/sup] x 5
3 x 5[sup]2[/sup], 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup]
3 x 5[sup]3[/sup], 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup]
3 x 5[sup]4[/sup], 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup]
3 x 5[sup]5[/sup], 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup]
3 x 5[sup]6[/sup], 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup]

Again for each (2 to 2[sup]8[/sup] and 3 to 3[sup]2[/sup] and 5 to 5[sup]6[/sup] ) there will be total 96 (8 x 2 x 6) combinations of factors having subfactors 2,3 and 5 only.

2 x 3 x 5, 2[sup]2[/sup]x 3 x 5, 2[sup]3[/sup]x 3 x 5, 2[sup]4[/sup] x 3 x 5, 2[sup]5[/sup] x 3 x 5, 2[sup]6[/sup] x 3 x 5, 2[sup]7[/sup] x 3 x 5, 2[sup]8[/sup] x 3 x 5

2 x 3[sup]2[/sup] x 5 , 2[sup]2[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5,2[sup]3[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5, 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5, 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5, 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5, 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5, 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5

2 x 3x 5[sup]2[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3 x 5[sup]2[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3 x 5[sup]2[/sup]

2 x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup] , 2[sup]2[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]2[/sup]

2 x 3x 5[sup]3[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3 x 5[sup]3[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3 x 5[sup]3[/sup]

2 x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup] , 2[sup]2[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]3[/sup]

2 x 3x 5[sup]4[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3 x 5[sup]4[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3 x 5[sup]4[/sup]

2 x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]4[/sup]

2 x 3x 5[sup]5[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3 x 5[sup]5[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3 x 5[sup]5[/sup]

2 x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup] , 2[sup]2[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]5[/sup]

2 x 3x 5[sup]6[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3 x 5[sup]6[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3 x 5[sup]6[/sup]

2 x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]2[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]3[/sup]x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]4[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]5[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]6[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]7[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup], 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup]

And finally 2[sup]8[/sup] x 3[sup]2[/sup] x 5[sup]6[/sup] itself is also a factor
So counting all those factors whose subfactor's exponential power is an even no, I get total no of factors of 36000000 which are not perfect squares as 149.
All such factors are marked in bold.

PS: Giving an explanation to others was a bigger problem rather than solving it 😀.
becks • Jan 10, 2009
so, TOTAL NO. OF FACTORS =9*3*7=189.
SO TOTAL NO. OF FACTORS which are perfect squares=5*2*4=40.
As Exponent of 2 can be either of the following(0,2,4,6,8) SO 5 WAYS.SIMILARLY FOR 3 AND 5.

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